Il Teorema di Pitagora non vale solo se costruiamo dei quadrati sul triangolo rettangolo, ma anche se costruiamo altri poligoni regolari.
Nella dimostrazione infatti,se al posto di costruire i quadrati sui cateti e sull’ipotenusa,costruiamo altri poligoni regolari,otteniamo lo stesso risultato.
DIMOSTRAZIONE CON L’ESAGONO
L’area dell’esagono regolare con lato uguale all’ipotenusa del triangolo rettangolo è uguale alla somma delle aree degli esagoni regolari con lato uguale al cateto minore e al cateto maggiore del triangolo rettangolo. Come noi sappiamo l’area dell’esagono si trova moltiplicando l’apotema per il perimetro, ma come facciamo a trovare l’apotema?
Possiamo nuovamente utilizzare il teorema di Pitagora: possiamo dividere l’esagono in sei triangoli equilateri. Scegliamone uno: l’apotema è uguale all’altezza di questo triangolo equilatero, e lo divide in due triangoli rettangoli su cui possiamo applicare il teorema di Pitagora.
Una volta trovata l’altezza, con qualche calcolo per verificare il teorema, si può dimostrare infine, che: l’area dell’esagono costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei due esagoni costruiti sui due cateti del triangolo rettangolo di partenza.
Dati:
-esagono 1=A -apotema di A: √5/2 a
-esagono 2=B -apotema di B: √3/2 b
-esagono 2=C -apotema di C: √5/2 c
Svolgimento calcoli:
Esagono A: perimetro A x area A = 3a x √3/2 a = 3√3/2 a2
Esagono B: perimetro B x area B = 3b x √3/2 b = 3√3/2 b2
Esagono A + Esagono B = 3√3/2 x (a2 x b2) = 3√3/2 x c2 = 3c x √3/2 c = perimetro C x area C = Esagono C
DIMOSTRAZIONE CON IL TRIANGOLO EQUILATERO
Come già affermato il teorema vale anche per gli altri poligoni regolari, incluso il triangolo equilatero.
Provando a disegnare un triangolo equilatero sull’ipotenusa e due triangoli equilateri sui due cateti del triangolo rettangolo di partenza, svolgendo qualche calcolo come valeva in precedenza per l’esagono, si può dimostrare che: La somma delle aree dei due triangoli equilateri costruiti sui cateti è uguale all’area del triangolo costruito sull’ipotenusa.
APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA CON POLIGONI DIFFERENTI NEI CATETI.
Se iscriviamo in un cerchio un pentagono equilatero, il quadrato del lato del pentagono è uguale alla somma dei quadrati dei lati dell’esagono e del decagono regolari, purchè iscritti nel medesimo cerchio.
Al Teorema di Euclide, date le lunghezze dei lati dei poligoni regolari, possiamo applicare il Teorema di Pitagora.
E quindi, considerato che il cerchio in cui sono iscritti i poligoni ha un raggio unitario, le formule per trovare i lati del pentagono dell’esagono e del decagono sono le seguenti:
E quindi applicando il Teorema di Pitagora:
Quindi dato che la somma dei quadrati dei lati dell’esagono e del decagono dà il quadrato del lato del pentagono, ne consegue che il lato del pentagono è ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono i lati
Dell’esagono e del decagono.
