Pitagora ci lascia questo semplice ma grande teorema, a cui già molti anni fa, più di 300 diverse dimostrazioni nedavano l’ennesima conferma.
“In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.”
a^2+b^2=c^2da cui, conoscendo gli altri 2 lati, ricaviamo…
c=√(a^(2 ) 〖+b〗^2 ) l’ipotenusa…
a=√(c^(2 ) 〖-b〗^2 )il cateto minore…
b=√(c^(2 ) 〖-a〗^2 )e il cateto maggiore.
Bene, sul teorema non ci sono dubbi. Ma perché i quadrati?Sicuramente per Pitagora fu molto più facile notare che era possibile costruire dei quadrati sui lati di quella piastrella divisa a metà, piuttosto che altre figure. In effetti pure il calcolo risulta relativamente facile: basta elevare alla seconda la misura del lato. Non potrebbe però trattarsi di quadrilateri invece che di quadrati? O di triangoli, di poligoni regolari o non regolari. Oppure di figure non geometriche.
Vediamo se il teorema vale pure costruendo delle figure diverse dai quadrati
Con i triangoli…
Iniziamo con il triangolo equilatero o isoscele. Quindi costruiamo sui lati del triangolo rettangolo i tre triangoli equilateri:
ora calcoliamo l’area dei triangoli equilateri; usando il teorema di Pitagora troviamo l’altezza del triangolo: h=√(l^2+(l/2)^2=l √3/2)
e quindi l’area:
A=l×h=l×l √3/2=l^2 √3/2
Ora conosciamo l’area dei triangoli equilateri costruiti sui cateti e sull’ipotenusa:
Area del cateto a: A=a^2 √3/2
Area del cateto b: A=b^2 √3/2
Area dell’ipotenusa c: A=c^2 √3/2
Supponendo di costruire altri tipi di triangoli (rettangolo, scaleno, isoscele) sui lati del triangolo rettangolo, deduciamo dalla precedente prova che le aree dei triangoli costruiti dipenderanno solamente dalla lunghezza del lato dove verranno costruiti e quindi ci ricondurremo al principale teorema di Pitagora. Questo però si può dire soltanto se i triangoli costruiti saranno SIMILItra loro, cioè avranno gli stessi angoli.
E per i poligoni?
Per i poligoni regolari il ragionamento si ripete, essendo loro formati da triangoli.
Pure per gli altri poligoni vale comunque il teorema, a patto che essi siano sempre simili tra loro e mantengano la stessa forma.
Lo stesso ragionamento quindi lo possiamo fare con ogni figura: triangoli, quadrilateri, poligoni regolari e non regolari,
“In ogni triangolo rettangolo l’area della figura costruita sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree delle figure costruite sui cateti, se e solo se queste figure sono simili e mantengono tra loro la stessa forma.”