“La somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa”, questo è il teorema di Pitagora, come si evince da esso si sono usati solo i quadrati per la dimostrazione della formula, ma si potrebbero usare altre figure? Del tipo:
Triangoli equilateri
Poligoni regolari
Semicerchi
Il teorema serve per trovare l’ipotenusa infatti facendo la formula inversa dell’area si trova il lato da questo si può ricavare la seguente formulaa2+b2=c2con a, b e c indicanti i lati del triangolo.
Sapendo questo si può iniziare a ragionare con i triangoli equilateri la cui area è (l*h)/2 dove h è l’altezza del triangolo e si trova in questo modo:
h=√(l^2-l^2/4)=√((4l^2-l^2)/4)=√((3l^2)/4)=l*√3/2
Adesso si può trovare l’area:
A=(l*h)/2=(l*l √3/2)/2=(l^2*√3)/4
A questo punto si devono eguagliare le aree:
(a^2√3)/4+(b^2√3)/4=(c^2√3)/4
Portando in evidenza (√3)/4si nota come l’uguaglianza dei quadrati dei lati soddisfi la formula ricavata dal teorema, perciò il teorema di Pitagora può essere dimostrato anche con i triangoli equilateri.
Essendo i poligoni regolari divisibili in vari triangoli equilateri (in base al numero dei lati) basterà solamente moltiplicare l’area di un singolo triangolo per il numero dei lati e il teorema verrà dimostrato allo stesso modo per tutti i poligoni regolari.
Invece per i semicerchi bisognerà solo eguagliare la somma delle aree dei cateti a quella dell’ipotenusa come per i triangoli equilateri la dimostrazione sarà soddisfatta:
(π(a/2)^2)/2+(π(b/2)^2)/2=(π(c/2)^2)/2
π/8 a^2+π/8 b^2=π/8 c^2
Si è dimostrato che il teorema di Pitagora vale con tutte le figure regolari.
