IN OGNI TRIANGOLO RETTANGOLO L’AREA DEL QUADRATO COSTRUITO SULL’IPOTENUSA E’ UGUALE ALLA SOMMA DELLE AREE DEI QUADRATI COSTRUITI SUI CATETI.
Nell’enunciato del teorema di Pitagora, è possibile sostituire i quadrati con altre figure, come ad esempio quadrilateri, triangoli, poligoni regolari o irregolari, purché simili tra loro.
In questo caso le stelle a cinque punte sono simili, mentre non sono simili una stella a cinque punte ed una a quattro.
Una proprietà delle figure simili, che spiega perché si possono sostituire ai quadrati nel teorema di Pitagora, è che le loro aree sono proporzionali ai quadrati di segmenti corrispondenti. Ad esempio, nel caso delle stelle a cinque punte, l’area è proporzionale al quadrato della distanza tra due punte consecutive; in formule:
A = kL2
Se successivamente prendiamo un triangolo rettangolo, e adattiamo tre stelle ai suoi tre lati, come nella figura, l’area della stella sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree sui cateti. Infatti per il teorema di Pitagora si ha A^2+B^2=C^2, e moltiplicando per k, avremo ka^2+kb^2=kc^2. Ma per quanto appena detto, le quantità ka^2, kb^2 e kc^2 sono le aree delle tre stelle, e quindi l’area della stella sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree di quelle sui cateti.
Si possono inoltre prendere come esempio le semicirconferenze, poste sui cateti del triangolo rettangolo.
L’area della semicirconferenza che poggia nel cateto minore, A^2,si può dedurre che sia (πa^2)/8; l’area della semicirconferenza che poggia nell’ipotenusa, C^2,si può dedurre che sia(πc^2)/8; e infine l’area della semicirconferenza che poggia nel cateto maggiore, B^2, si può dedurre inoltre che sia (πb^2)/8.In conclusione sommando le aree delle semicirconferenze A e B, si ottiene l’area della semicirconferenza C :A+B=π/8(a^2*b^2)= π/8 c^2= C^2.