Nell’enunciato del teorema di Pitagora, i quadrati possono essere sostituiti da altre figure, come ad esempio triangoli, esagoni, o anche figure irregolari, purché simili tra loro.
Le figure simili sono quelle che differiscono solo per grandezza, ma non per forma. In altre parole, due figure simili sono l’una l’ingrandimento dell’altra. Ad esempio, le due stelle a cinque punte sono simili.
Analogamente, sono simili due triangoli con i latri doppi l’uno rispetto all altro. Osserviamo che tutti i quadrati sono simili tra loro, come pure tutti i cerchi e tutti i poligoni regolari con lo stesso numero di lati.
Una proprietà delle figure simili, che spiega perché si possono sostituire ai quadrati nel teorema di Pitagora, è che le loro aree sono proporzionali ai quadrati di segmenti corrispondenti. Ad esempio, nel caso delle stelle a cinque punte, l’area è proporzionale al quadrato della distanza tra due punte consecutive; in formule
A = kL2 .
(Naturalmente, invece che la distanza tra due punte si sarebbe potuto prendere un lato l della stella;
in questo caso si avrebbe A = h l 2 , con una costante h diversa da k).
Se ora prendiamo un triangolo rettangolo, e adattiamo tre stelle ai suoi tre lati, come nella figura
l’area della stella sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree sui cateti.
Infatti per il teorema di Pitagora si ha a2 + b2 =c2 , e moltiplicando per k, avremo k a2 + k b2 = k c2 . Ma per quanto appena detto, le quantità k a2 , k b2 e k c2 sono le aree delle tre stelle, e quindi l’area della stella sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree di quelle sui cateti.
L’osservazione precedente è alla base di un’elegante dimostrazione del teorema di Pitagora.
Basta osservare che i triangoli ABC e ADB nella figura sono simili, essendo rettangoli e avendo in
comune l’angolo in A. Per la stessa ragione risultano simili i triangoli ABC e BDC, e quindi i tre triangoli sono figure simili.
Poiché il triangolo ABC è composto dagli altri due, la sua area è la somma delle aree di questi ultimi:
area (ABC) = area (ABD) + area (BDC).
Siccome i triangoli sono simili, le loro aree sono proporzionali ai quadrati delle loro ipotenuse, e quindi
e dividendo per k si trova
cioè il teorema di Pitagora.
kAC2 =kAB2 +kBC2 AC2 =AB2 +BC2 ,
Un caso interessante è quando le figure simili sono semicerchi. Ancora una volta la somma dei
semicerchi sui cateti è uguale al semicerchio sull’ipotenusa
Se ora ribaltiamo quest’ultimo, e togliamo sia al semicerchio grande che ai due piccoli le parti più scure in comune, le figure che restano, cioè il triangolo e le due figure gialle a forma di luna, avranno area uguale.