Cosa è una sezione conica?
Con il termine sezione conica si intende genericamente una curva piana che sia luogo dei punti ottenibili intersecando la superficie di un cono circolare con un piano.
Se consideriamo il cono circolare retto costituito dalle rette generatrici che, con il suo asse, formano un angolo di ampiezza θ. Dobbiamo tenere presente che i punti del cono si tripartiscono in tre sottoinsiemi: uno costituito solo dal suo vertice e due sottoinsiemi separatamente connessi dette falde o nappe.
A seconda del tipo di piano che interseca il cono si hanno due tipi di curve: le cosiddette non degeneri e le degeneri. Per quanto riguarda le prime si può avere:
l’ellisse, ottenuta intersecando il cono con un piano che con il suo asse formi angoli maggiori di θ e minori o uguali a π/2; ciascuna di tali intersezioni appartiene a una sola delle due falde del cono ed è una curva chiusa;
la circonferenza, a sua volta caso particolare di ellisse ottenuta dall’intersezione del cono con un piano perpendicolare al suo asse, e anch’essa curva chiusa;
la parabola, ottenuta per intersezione del cono con un piano parallelo a una delle sue rette generatrici (in questo caso l’angolo formato con l’asse della conica è uguale a θ); ogni parabola appartiene a una sola delle falde del cono e non è una curva chiusa;
l’iperbole, ottenuta per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse un angolo inferiore a θ; anche l’iperbole è una curva aperta e, siccome il piano interseca entrambe le falde del cono, essa si bipartisce in due sottoinsiemi connessi detti rami della conica.
Le cosiddette coniche degeneri si ottengono, invece, per intersezioni con piani passanti per il vertice del cono:
il punto, ottenuto per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse angolo superiore a θ; nella fattispecie, il punto altro non è che il vertice del cono;
la retta, ottenuta per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse un angolo pari a θ, è una delle generatrici del cono;
una coppia di rette, ottenute per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse un angolo inferiore a θ, si incontrano al vertice del cono e sono bisecate dalla retta ottenuta per intersezione del piano secante con il piano a esso ortogonale e passante per l’asse del cono.
Possiamo trovare esempi di coniche anche in natura.
Per esempio le orbite dei pianeti del sistema solare sono di forma ellittica.
Un altro esempio di ellissi si può trovare anche in elementi costruttivi dell’architettura antica fino a quella dei nostri tempi.
L’equazione caratteristica delle sezioni coniche è:
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
Cosa accadrebbe se si facessero ruotare i suoi assi?
In questo caso analizzeremo cosa succede ai termini dell’equazione di una parabola quando si fano ruotare i suoi assi.
In primo luogo dobbiamo costruire la conica a cui si fa riferimento, prendiamo come direttrice una retta generica (y=mx+q) e come fuoco un punto di coordinate (Xp,Yp).
Iniziamo a fare delle ipotesi:
per esempio potremmo mantenere uguale il valore di q (dell’equazione della direttrice), variando però il valore del coefficiente angolare ,m, che determina la pendenza della parabola.
Dopo aver fatto alcuni accertamenti possiamo notare che qualunque valore attribuisco a m, i termini dell’equazione delle coniche variano tutti.
Successivamente se si prova a cambiare il valore di q e far rimanere invariato il valore del coefficiente angolare possiamo notare che i primi tre termini dell’equazione non cambiano, perché dipendono dal valore di m, cioè dal coefficiente angolare.
Possiamo quindi terminare dicendo che: quando si ruotano gli assi ad una parabola a cambiare sono tutti i termini dell’equazione generica delle sezioni coniche.