Cosa è una sezione conica e cosa accadrebbe se si facessero ruotare gli assi cartesiani? Innanzitutto chiariamo cosa sono le sezioni coniche.
Le sezioni coniche sono particolari curve piane che si ottengono dall’intersezione tra un piano e un cono a due falde. Esempi di coniche sono: la circonferenza, la parabola, l’ellisse e l’iperbole. (In questo caso tratteremo solo della parabola).
Possiamo trovare esempi di coniche anche in natura. Le orbite dei pianeti del sistema solare sono infatti di forma ellittica. Esempi di ellissi si trovano anche in alcuni elementi costruttivi che ricorrono nell’architettura di edifici sin dai tempi più antichi.
Fu infatti proprio da oggetti reali che partì lo studio delle coniche presso i Greci.
Solo successivamente con Cartesio se ne ebbe la prima formulazione algebrica.
Le coniche possono quindi essere studiate, in maniera più semplice,anche partendo dall’osservazione di oggetti appartenenti alla vita di tutti i giorni, come un cono gelato. Ciò ci permette di visualizzarle concretamente e non esclusivamente mediante uno schermo.
Se infatti si tagliasse in tante direzioni un cono gelato, ci si accorgerebbe che le sezioni ottenute sono proprio delle coniche.
Ora, disponendo concretamente di queste sezioni, si potrebbe iniziare a “sperimentare” su di esse, dopo averle rappresentate attraverso equazioni.
L’equazione caratteristica delle sezioni coniche è:
axA2+bxy+cyA2+dx+ey+f=O
Tenendo conto di questa equazione, possiamo iniziare ad apportare delle modifiche alle nostre sezioni coniche, ad esempio ruotando o traslando gli assi cartesiani, per poi osservare cosa succede di volta in volta ai diversi termini.
In questo caso analizzeremo cosa succede ai termini dell’equazione di una parabola quando si fanno ruotare gli assi cartesiani.
Prima di tutto si deve costruire la conica in questione, prendendo come direttrice una retta generica (y=mx+q) e come fuoco un punto generico di coordinate (xp, yp).
Se si prende in considerazione una parabola con asse parallelo all’asse y, l’equazione generica che si ottiene è:
y=ax”2+bx+c
A questo punto possiamo iniziare a modificare i vari termini.
Potremmo ad esempio mantenere invariato il valore di q nell’equazione della direttrice della parabola, variando però il valore di m, coefficiente angolare che determina l’inclinazione della conica.
Dopo aver fatto alcune prove, variando di volta in volta il valore di m, possiamo osservare che a cambiare sono i valori di tutti i termini dell’equazione generica delle coniche.
Se in alternativa si modificasse il valore di q dell’intercetta, mantenendo invariato quello di m, potremmo osservare che gli unici termini che rimangono invariati sono i primi tre (ax”2+bxy+cy”2) dell’equazione delle coniche, in quanto questi dipendono dal coefficiente angolare m.
Un altro modo per comprendere come i valori dei vari termini variano alla rotazione degli assi cartesiani, consiste nell’analizzare il discriminate (b”2-4ac) dell’equazione costituita dai primi tre termini dell’equazione delle coniche.
Facendo ruotare la sezione conica ci accorgiamo che il delta delle diverse equazioni di secondo grado che si ottengono è sempre nullo.
Possiamo quindi concludere che quando si ruotano gli assi cartesiani a variare sono tutti i termini dell’equazione delle sezioni coniche. Al contrario il valore del discriminante dell’equazione costituita dai primi tre termini dell’equazione delle coniche, rimane invariato di rotazione in rotazione, assumendo sempre valore nullo.