Si raccontache Pitagora, abbia scoperto il suo teorema mentre stava aspettando di essere ricevuto da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo del tiranno di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento. Se avesse tagliato in due una piastrella lungo una diagonale, avrebbe ottenuto due triangoli rettangoli uguali. Inoltre l’area del quadrato costruito sulla diagonale di uno dei due triangoli rettangoli risultava il doppio dell’area di una piastrella. Questo quadrato risultava infatti composto da quattro mezze piastrelle, cioè da due piastrelle. Ma i quadrati costruiti sugli altri lati del triangolo corrispondevano ognuno all’area di una piastrella.In altre parole dato un triangolo rettangolo ABC come in figura, vale la relazione
A² + B² = C²
dove C è l’ipotenusa del triangolo e B,A sono i cateti:
Il Teorema di Pitagora ammette una generalizzazione (citata da Euclide nei suoi Elementi): se su ciascun lato di un triangolo rettangolo costruiamo figure simili -ovvero tali che una sia l’ingrandimento o il rimpicciolimento di una delle altre- allora le loro aree soddisferanno la stessa relazione dei quadrati nel Teorema di Pitagora. Per esempio, consideriamo un triangolo rettangolo con dei triangoli simili costruiti sui cateti e sull’ipotenusa:
Quindi se le figure sono simili si può sempre scrivere: Aa + Ab = Ac
Altri esempi:
