Le sezioni coniche sono le curve piane che si ottengono come intersezione nello spazio tra un cono circolare retto a due falde e un piano non passante per il vertice del cono.
La prima classificazione che nasce da questa applicazione distingue tra coniche non degeneri (circonferenza, ellisse, parabole, iperbole) e coniche degeneri.
LE CONICHE NON DEGENERI
L’equazione generale di una conica è: 2ax + bxy +2cy + dx +ey + f = 0
Il termine bxy si chiama termine rettangolare.
Per sapere di quale tipo di conica si tratti si utilizza l’espressione b2 – 4ac.
1. Se b2 – 4ac 0 si tratta di un’iperbole.
2. Se b2 – 4ac 0 si tratta di un’ellisse (caso particolare la circonferenza).
3. Se b2 – 4ac = 0 si tratta di una parabola.
• L’ELLISSE è ricavata dall’intersezione tra il cono ed un piano che forma
con l’asse del cono un angolo maggiore di alfa ma minore di 90 gradi
dove alfa è l’angolo formato tra l’asse del cono ed una delle sue
generatrici.
• LA PARABOLA è data dall’intersezione tra una faldaed un piano
parallelo ad una delle sue generatrici. Il piano forma un angolo uguale
ad alfa con l’asse del corpo.
• L’IPERBOLE è data dall’intersezione tra il cono ed un piano che forma
l’asse del cono un angolo minore di alfa. L’iperbole è l’unica conica
che forma due rami distinti dato che il piano incontra entrambe le
falde del cono.
LA STORIA DELLE CONICHE
Il più antico autore di cui abbiamo traccia, che abbia trattato delle coniche è Menecmo, matematico greco del IV° secolo a.C., maestro del grande condottiero Alessandro Magno. Esse furono utilizzate nel tentativo di risolvere uno dei tre famosi problemi dell´antichità: la duplicazione del cubo, detto anche “il problema di Delo”.
Menecmo descrisse le coniche come intersezione di un cono circolare retto, con angolo al vertice variabile ed un piano fisso perpendicolare alla direttrice del cono; a seconda che sia abbia:, oppure si otterrà rispettivamente un´ellisse, una parabola o un’iperbole.
Successivamente Apollonio, il Grande Geometra, vissuto a cavallo tra il III° e il II° secolo a.C., scrisse un trattato dal titolo proprio “Le Coniche”.
Apollonio ottiene le curve come intersezione di un cono fisso e un piano secante ad inclinazione diverse.
Fu Apollonio ad attribuire alle curve il loro nome i quali derivano dal confronto fra due proprietà caratteristiche di ciascuna curva: ellisse significa “difetto”, “mancanza di”; parabola “uguaglianza”; iperbole “eccesso”.
Apollonio, inoltre, sostituì il cono ad una falda con quello a due falde trovando il secondo ramo dell´iperbole.
Come tutta la matematica, dopo una lunga pausa buia le coniche vedono una rinascita nel Seicento grazie a scienziati del calibro di Galileo, Keplero, Newton, i quali scoprirono importantissime proprietà e applicazioni delle coniche a moltissimi campi della scienza.
L’opera di Apollonio fu commentata dalla prima donna matematica della storia: Ipazia. Quest’ultima nel 400 era a capo della scuola platonica di Alessandria, dove teneva lezioni di filosofia e matematica.
Si pensa inoltre che Ipazia abbia anticipato la prima legge di secondo la quale i pianeti descrivono delle orbite ellittiche intorno al sole di cui esso ne occupa uno dei due fuochi.
Le sezioni coniche furono riprese da Descartes nella sua Geometria (1637), in cui diede la loro prima trattazione con i metodi propri della geometria analitica.
Francesco Illuminati